Родился в 1975 году в Москве. Окончил Российскую академию музыки имени Гнесиных (класс профессора И.Ф. Пушечникова). Работал в Академическом симфоническом оркестре Московской филармонии, Заслуженном коллективе России Симфоническом оркестре Санкт-Петербургской филармонии, Госоркестре России имени Е.Ф. Светланова и Государственном камерном оркестре России.
Александр Архангельский выступает в составе различных камерных ансамблей, в том числе сотрудничает с ансамблем «Барокко», в составе которого осуществил ряд записей. Музыкант также исполнил и записал на компакт-диск одну из ведущих партий в Двойном концерте И.С. Баха с Государственным камерным оркестром России под управлением Константина Орбеляна.
В 2016 году удостоен почетного звания «Заслуженный артист Российской Федерации».